با تغییر زاویه $\alpha$ مقادیر تانژانت آن نیز تغییر می‌کند. ابتدا این تغییرات را در ربع اول دایره مثلثاتی بررسی می‌کنیم. اگر $\alpha = 0^\circ$، مقدار $\tan \alpha$ برابر صفر است و با افزایش اندازه $\alpha$، مقدار $\tan \alpha$ نیز افزایش می‌یابد.
الف) با افزایش مداوم مقادیر زاویه $\alpha$ در ربع اول و نزدیک شدن آن به $\frac{\pi}{2}$، مقادیر تانژانت تا چه حد افزایش می‌یابد؟
ب) توضیح دهید اگر عدد حقیقی و مثبت $a$ را داشته باشیم، چگونه می‌توان زاویه‌ای مانند $\alpha$ یافت، به طوری که $a = \tan \alpha$.
حل تمرین فعالیت صفحه 37 ریاضی دوازدهم
### الف) تغییرات $\tan \alpha$ هنگام نزدیک شدن $\alpha$ به $\frac{\pi}{2}$
1. **بررسی از روی نمودار:** همانطور که در نمودار دایره مثلثاتی دیده می‌شود، با افزایش زاویه $\alpha$ به سمت $\frac{\pi}{2}$ (حرکت ضلع دوم زاویه به سمت بالا):
* **ضلع دوم زاویه** (پاره‌خط $OM$) به تدریج به **موازات محور تانژانت** ($T'AT$) نزدیک می‌شود.
* **نقطه برخورد** ضلع دوم زاویه با محور تانژانت ($T'AT$) به سمت **بالا و دورتر از محور کسینوس‌ها** حرکت می‌کند.
2. **بررسی جبری:**
$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$
* وقتی $\alpha \to \frac{\pi}{2}^-$ (از سمت چپ به $\frac{\pi}{2}$ نزدیک می‌شود):
* $\sin \alpha \to 1$ (به یک نزدیک می‌شود).
* $\cos \alpha \to 0^+$ (به صفر از سمت مقادیر مثبت نزدیک می‌شود).
* حاصل کسر: $\frac{1}{0^+}$، که مقداری بسیار بزرگ و مثبت است.
$$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ با نزدیک شدن مداوم زاویه } \alpha \text{ به } \frac{\pi}{2} \text{، مقادیر تانژانت بدون حد و مرز افزایش می‌یابد و به } \mathbf{+\infty} \text{ میل می‌کند.}$$
$$\text{به زبان دیگر، برد تابع } \tan \alpha \text{ در ربع اول، بازه } (0, +\infty) \text{ است.}$$
---
### ب) یافتن زاویه $\alpha$ برای یک مقدار تانژانت مثبت ($a = \tan \alpha$)
$$\mathbf{\text{پاسخ:}} \text{ بله، با استفاده از تابع وارون تانژانت (آرک‌تانژانت) می‌توان این زاویه را پیدا کرد.}$$
1. **استفاده از محور تانژانت:**
* محور تانژانت ($T'AT$) یک خط عمودی است که از نقطه $(1, 0)$ می‌گذرد.
* چون $a$ یک عدد حقیقی مثبت است، آن را روی **محور تانژانت** (بالاتر از محور کسینوس‌ها) مشخص می‌کنیم.
2. **رسم خط:**
* نقطه‌ای به مختصات $A' = (1, a)$ را روی محور تانژانت در نظر می‌گیریم.
* پاره‌خطی را از **مبدأ** ($O$) به این نقطه ($A'$) رسم می‌کنیم.
3. **تعیین زاویه:**
* زاویه $\alpha$، زاویه‌ای است که این پاره‌خط ایجاد شده با **محور کسینوس‌های مثبت** می‌سازد.
$$\mathbf{\text{نتیجه جبری:}} \text{ زاویه } \alpha \text{ به صورت } \mathbf{\alpha = \arctan(a)} \text{ به دست می‌آید.}$$
$$\text{چون برد تابع تانژانت تمام اعداد حقیقی } (\mathbb{R}) \text{ است، برای هر عدد } a \in \mathbb{R} \text{، حداقل یک زاویه (در دامنه اصلی تانژانت) وجود دارد که } \tan \alpha = a \text{ باشد.}$$
